LE PROBLÈME DE MONTY HALL

Présentation

Dans une émission populaire de télévision américaine, un présentateur nommé Monty Hall proposait à un joueur de choisir entre trois portes fermées.

Derrière l'une de ces portes se cachait une voiture que pouvait remporter le joueur, et derrière chacune des deux autres portes se cachait une chèvre signifant au joueur qu'il avait perdu.

• Dans un premier temps, le présentateur demandait au joueur de choisir l'une des trois portes.
• Ensuite, le présentateur ouvrait l'une des deux portes qui n'avaient pas été choisies, mais jamais celle cachant la voiture.
• Il demandait alors au joueur s'il souhaitait ou non changer de choix de porte.

La question est de savoir si le joueur avait ou non intérêt à changer son choix. Qu'en pensez-vous ?

Simulations

On a simulé, ci-dessous, le fonctionnement du jeu. La première simulation est manuelle, la seconde, automatisée. Quelle conjecture peut-on tirer de ces simulations ?

Pour observer les fréquences, cliquer sur la fenêtre ci-dessous. Quelle conjecture peut-on tirer de cette simulation ?

Tableur

On a complété la feuille de tableur représentée ci-dessous avec les résultats de 1000 simulations du jeu.
Votre conjecture est-elle confirmée par ces résultats ?

Explication

Puisqu’il y a trois portes et qu’une seule cache la voiture, la probabilité que le joueur ait choisi la porte cachant la voiture est \(\dfrac{1}{3}\).

Cette probabilité ne change pas lorsque le présentateur ouvre une porte. Or, puisqu’il ne reste alors que deux portes, la probabilité que la seconde cache la voiture est donc de \(1 − \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\).

Le joueur double donc ses chances de gagner la voiture en changeant son choix au profit de l’autre porte.